概念

向量（矢量） 既有大小又有方向的量（不能比较大小）
数量（标量） 只有大小没有方向的量
有向线段 具有方向的线段 三要素：起点、方向、长度
表示 用有向线段表示向量
长度 |向量| 可以比较大小
零向量 长度为0的向量，方向任意 0
单位向量 长度等于1个单位长度的向量，方向任意
平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量，零向量与任意向量平行
相等向量 长度相等且方向相同的向量，具有传递性

运算

三角形法则 首尾相连
平行四边形法则 对角线
多边形法则 首位顺次连接的若干向量求和，若形成封闭图形，和为0
运算律 交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
相反向量 长度相等，方向相反的向量
数乘 实数k与向量a的积是一个向量，ka, 满足结合律，分配律
共线定理 存在一个唯一实数k使b=ka,a≠0
推论（三点共线） 平面上三点O，A，B不共线，则平面上任意点P与A，B共线的充要条件是存在实数u, v使得向量OP=u向量OA+u向量OB，u+v=1（向量上面的箭头不会打QAQ）
推导

基本定理

e1,e2是同一平面内两个不共线向量，对于这一平面的任意向量a，有且只有一对实数k1，k2使a=k1e1+k2e2
证明 基底 e1,e2不共线，我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底

等和线

坐标表示

基底 与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i,j
坐标 有且只有一对实数x，y，使a=xi+yj,(x,y)为a的坐标
运算 x,y分别算
向量共线 a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0,向量共线的充要条件是x1y2-x2y1=0

定比分点

数量积

向量夹角 数量积 投影向量 性质

奔驰定理与四心

余弦定理与正弦定理

射影定理和其他

a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA.
其他 仰角 在同一铅垂平面内，当视线在水平线上方时,与水平线的夹角
俯角 在同一铅垂平面内当视线在水平线下方时,与水平线的夹角
方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南,方向角小于90°)
方位角从正北方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
实用公式

三角形解

三角形面积

极化恒等式

概念

复数 形如a+bi(a,b∈R)的数，i是虚数单位，i^2=-1
复数集 全体复数所构成的集合C={a+bi|a，b∈R}
表示方法 z=a+bi,a是复数的实部，b是复数的虚部
分类 a=b=0时是实数0，b=0时是实数，b≠0时是虚数，a=0，b≠0时是纯虚数.
相等 z1=a+bi,z2=c+di,a=c且b=d时z1=z2
复平面 建立平面直角坐标系表示复数的平面，x轴是实轴，y轴是虚轴
模 |z|=|a+bi|=根号下a^2+b^2
共轭复数 两个实部相等，虚部互为相反数的复数，虚部不等于0的共轭复数也叫共轭虚数

运算

加法 z1=a+bi,z2=c+di,z1+z2=(a+c)+(b+d)i 满足交换律、结合律
减法 和加法差不多
两点间距离 z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,d=|Z1Z2|=|z1-z2|=|(x1-x2)+(y1-y2)i|=根号下（x1-x2）^2+(y1-y2)^2
意义 |z-z0|表示复数z和z0对应点的距离，|z-z0|=r时，z对应轨迹是以z0对应点为圆心，半径为r的圆
乘法 z1=a+bi,z2=c+di,z1*z2=(ac-bd)+(ad+bc)i，满足交换律、结合律和分配律
除法 z1/z2=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/(c^2+d^2)i
常用结论 (a+bi)^2=a^2-b^2+2abi,(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2,(1+i)^2=2i,(1-i)^2=-2i,1/i=-1,(1+i)/(1-i)=i,(1-i)/(1+i)=-i
i^n i^4n=1,i^4n+1=i,i^4n+2=-1,i^4n+3=-i,i^0=1,i^-n=1/i^n
w^n 复数模性质 共轭复数性质

三角表示

表示 辐角主值 乘法 除法

基本立体图形

多面体由若干个平面多边形围成的几何体
多面体的面 围成多面体的各个多边形
多面体的棱 两个面的公共边
多面体的顶点 棱与棱的公共点
正多面体 每个面都是全等的正多边形，每个顶点为端点都有相同的棱数
多面体欧拉定理 V-E+F=2,V是顶点数,E是棱数,F是面数
旋转面 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面
旋转体 封闭的旋转面围成的几何体
旋转体的轴 定直线
棱柱 两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体
棱锥 有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体
正棱锥 底面是正多边形,并且顶点与底面中的连线垂直于底面的棱锥,各棱长均相等的正三棱锥叫正四面体
棱台 用一个平行于棱雅底面的平面去截棱锥,底面和藏面之间的那部分多面体
正棱台 由正棱锥截得的棱台
圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体
圆锥 以直角二角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分
球面以半圆的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面
球 球面所围成的旋转体

直观图

空间图形的直观图 用来表示空间图形的平面图形
画法 建系,横不变,纵减半;平行关系不改变,成图
面积关系一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S1,则有S1=根号2/4*S,S=2根号2S1

表面积与体积

平面

位置关系

点、线、面 异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线
直线与平面 平面与平面

平行

空间等角定理

垂直

空间距离与空间角

垂线段 过一点作垂直于已知平面的直线,该点与垂足间的线段
点面距 垂线段的长度
线面距 一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离
面面距 两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等
异面直线所成角 范围在0-90°之间，闭区间
直线与面所成角 二面角 二面角的平面角

随机抽样

全面调查与抽样调查 简单随机抽样 设一个总体含有N(N为正整数)个个体, 从中逐个抽取n(1≤m< N)个个体作为样本,如果抽取是放回的, 且每次抽取时总体内的各个个体抽到的频率都相等, 我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样;如果抽取是不放回的, 且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等， 我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样
简单随机抽样 放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样
简单随机样本 通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本
简单随机抽样的方法 抽签法、随机数法
总体均值 总体平均数
样本均值 样本平均数
分层随机抽样 按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体, 每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样, 再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本
每一个子总体称为层
比例分配 每层样本量都与层的大小成比例
获取数据的基本途径 调查、试验、观察、查询

数据表示

柱形图 用一个单位长度(如1cm)表示一定的数量, 根据数量的多少,画成长短相应成比例的直条,并按一定顺序排列起来的统计图
可以清楚地表明各种数量的多少,可以分为纵式柱形图和横式柱形图
折线图 以折线的上升或下降来表示统计数量的增减变化的统计图
不仅可以表示数量的多少,而且可以反映同一事物在不同时间里的发展变化情况
扇形图(饼图或饼形图) 用整个圆表示总数(单位“1”), 用各个扇形的大小表示各部分量占总量的百分比
可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况
当总体很大或不便获取时,用样本的频率分布去估计总体的频率分布
频率分布表 反映样本频率分布的表格
频率分布直方图 横轴表示样本数据,纵轴表示频率与组距的比值, 将频率分布表中各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示
频率分布折线图 连接频率分布直方图中各小矩形上端的中点

数据特征

众数 一组数据中出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)
中位数 一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列,处于最中回的一个数据 (当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)
平均数 一组数据的和与这组数据的个数的商
第p百分位数 它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值, 且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值
25%,50%,75%分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数
确定要求第p百分位数所在分组为[AB）,由频率分布表或频率分布直方图可知, 样本中小于A的频率为a,小于B的频率为b,所以第p百分位数= A+组距*(p%-a)/(b-a)
方差
标准差 对方差开平方,取它的算术平方根
平均数与方差 如果数据x1,…,xn的平均数为x,方差为s,那么ax1+b,ax2+b，…, axn+b(a,b为常数)的平均数是ax+b,方差是a^2*s^2.
方差公式s^2=n1/n(s1^2+(x1-x)^2)+n2/n(s2^2+(x2-x)^2)

随机事件与概率

随机试验 对随机现象的实现和对它的观察
样本点 随机试验E的每个可能的基本结果,用ω表示
样本空间 全体样本点的集合,用Ω表示
有限样本空间 一个随机试验有n个可能结果
样本点列举方法 列举法,列表法,树状图法
随机事件 样本空间Ω的子集,一般用大写字母A,B,C…表示
必然事件 每次试验中总有一个样本点发生
不可能事件 在每次试验中都不会发生

事件的关系

包含 若事件A发生,则事件B一定发生,称事件B包含事件A

事件的运算

井事件(和事件) A事件，与事件B至少有一个发生,AUB(或A+B)
交事件(积事件) 事件A与事件B同时发生,AnB(或AB)
互斥事件 事件才与事件B不能同时发生，AnB=∅
对立事件 事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,AnB=∅,AUB=Ω
对立必互斥,但互斥不一定对立
概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示
共同特征 有限性,等可能性
概率的基本性质1:对任意的事件 ,都有P(A)≥0. 2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(∅)=0. 3:如果事件A与事件B互斥,那么P(AUB)≡P(A)+P(B). 4:如果事件4与事件B互为对立事件那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B). 5:如果A包含于B,那么P(A)≤P(B),由该性质可得,对于任意事件A, 因为∅包含于A包含于Ω,所以O≤P(A)≤ 1. 6:设A,B是一个随机试验中的两个事件，有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB)

事件相互独立性

相互独立事件对任意两个事件A与B,若P(AB)=P(A)·P(B)成立, 则称事件A与事件B相互独立,简称为独立
性质当事件A,B相互独立时,A与/B,/A与B,/A与/B也都相互独立

频率与概率

频数 在相同的条件下重复n次试验,观察某一事件A是否出现, 称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数
概率 称事件A出现的比例fn(A)=nA/n为事件A出现的频率
随机模拟方法 蒙特卡洛方法